【向量相乘的坐标公式?】在向量运算中，向量相乘是一个重要的数学操作，常用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量相乘通常包括两种形式：点积（数量积） 和 叉积（向量积）。它们的计算方式不同，结果也具有不同的物理意义。
以下是对这两种向量相乘方式的总结，并以表格形式展示其坐标公式。
一、点积（数量积）
定义：两个向量的点积是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值与各自模长的乘积。
坐标公式：
设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，向量 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
特点：
- 结果是标量。
- 若两向量垂直，则点积为0。
- 可用于判断向量之间的夹角关系。
二、叉积（向量积）
定义：两个向量的叉积是一个新的向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面，大小等于这两个向量所构成平行四边形的面积。
坐标公式：
同样设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
特点：
- 结果是向量。
- 方向由右手螺旋法则确定。
- 叉积为零时，说明两向量共线。
三、对比总结
| 向量运算 | 名称 | 运算结果 | 公式（三维坐标） | 物理意义 |
| $\vec{a} \cdot \vec{b}$ | 点积 | 标量 | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | 表示两向量夹角及投影关系 |
| $\vec{a} \times \vec{b}$ | 叉积 | 向量 | $(a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 表示垂直方向的“面积”和方向 |
四、小结
向量相乘的坐标公式是理解向量运算的重要基础。点积适用于求解角度、投影等问题，而叉积则在处理旋转、力矩等三维空间问题时非常有用。掌握这些公式的应用场景，有助于更好地理解和应用向量在实际问题中的作用。
